Fredholm theory for Wiener-Hopf plus Hankel operators - Bogveradze, Giorgi (2011)
Na presente tese consideramos combinações algébricas de operadores de Wiener-Hopf e de Hankel com diferentes classes de símbolos de Fourier. Nomeadamente, foram considerados símbolos matriciais na classe de elementos quase periódicos, semi-quase periódicos, quase periódicos por troços e certas funções matriciais sectoriais. Adicionalmente, foi dedicada atenção também aos operadores de Toeplitz mais Hankel com símbolos quase periódicos por troços e com símbolos escalares possuindo n pontos de discontinuidades quase periódicas usuais. Em toda a tese, um objectivo principal teve a ver com a obtenção de descrições para propriedades de Fredholm para estas classes de operadores. De forma a deduzir a invertibilidade lateral ou bi-lateral para operadores de Wiener-Hopf mais Hankel com símbolos matriciais AP foi introduzida a noção de factorização assimétrica AP. Neste âmbito, foram dadas condições suficientes para a invertibilidade lateral e bi-lateral de operadores de Wiener- Hopf mais Hankel com símbolos matriciais AP. Para tais operadores, foram ainda exibidos inversos generalizados para todos os casos possíveis. Para os operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos matriciais SAP e PAP foi deduzida a propriedade de Fredholm e uma fórmula para a soma dos índices de Fredholm destes operadores de Wiener-Hopf mais Hankel e operadores de Wiener-Hopf menos Hankel. Uma versão mais forte destes resultados foi obtida usando a factorização generalizada AP à direita. Foram analisados os operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos que apresentam determinadas propriedades pares e também com símbolos de Fourier que contêm matrizes sectoriais. Em adição, para operadores de Wiener-Hopf-Hankel, foi obtido um resultado correspondente ao teorema clássico de Douglas e Sarason conhecido para operadores de Toeplitz com símbolos sectoriais e unitários. Condições necessárias e suficientes foram também deduzidas para que os operadores de Wiener-Hopf mais Hankel com símbolos L∞ sejam de Fredholm (ou invertíveis). Para se obter tal resultado, trabalhou-se com certas factorizações ímpares dos símbolos de Fourier. Os operadores de Toeplitz mais Hankel gerados por símbolos que possuem n pontos de discontinuidades quase periódicas usuais foram também considerados. Foram obtidas condições sob as quais estes operadores são invertíveis à direita e com dimensão de núcleo infinita, invertíveis à esquerda e com dimensão de co-núcleo infinita ou não normalmente solúveis. A nossa atenção foi também colocada em operadores de Toeplitz mais Hankel com símbolos matriciais contínuos por troços. Para tais operadores, condições necessárias e suficientes foram obtidas para se ter a propriedade de Fredholm. Tal foi realizado usando a abordagem do cálculo simbólico, determinados operadores auxiliares emparelhados com símbolos semi-quase periódicos e várias relações de equivalência após extensão entre operadores.