Magnetic properties of quantum electronic systems with non-trivial geometries - Gouveia, José Daniel Lago da Silva Neves (2018)
O modelo de Hubbard é um dos modelos mais simples para descrever o movimento e a interacção de electrões em sólidos. Tem sido largamente estudado pelas suas aplicações na descrição de condutores orgânicos e na procura de supercondutividade a cada vez mais altas temperaturas. O objectivo desta tese é contribuir para a melhor compreensão do comportamento do modelo de Hubbard a duas dimensões quando a geometria da rede é alterada, nomeadamente torcendo as condições de fronteira ou introduzindo frustração geométrica. Começa-se por fazer uma extensão do diagrama de fases magnéticas do modelo de Hubbard numa rede quadrada usando a aproximação de campo médio, introduzindo a possibilidade de modulação da densidade de spin, contrastando assim com estudos anteriores. Isto foi conseguido dividindo a rede quadrada em duas sub-redes, podendo as suas densidades de spin ser diferentes. Concluiu-se que, em algumas regiões do diagrama de fases, esta densidade de spin modulada permite ao sistema baixar a sua energia livre. Em segundo lugar, introduz-se uma variação da rede quadrada, a que chamamos rede helicoidal. Estas duas redes são equivalentes no limite termodinâmico, visto que apenas diferem nas condições de fronteira. É apresentado um Hamiltoniano efectivo que descreve as correcções de energia em primeira ordem devidas aos saltos transversais no limite de acoplamento forte (strong-coupling limit). Devido à introdução destes saltos, observa-se uma dinâmica de spins, mesmo no limite de interacção electrónica infinita (ou seja, sem as correcções de Heisenberg). É apresentada uma expressão analítica para a correcção energética no caso de uma lacuna e um spin invertido, bem como representações gráficas das correcções para vários spins invertidos, obtidas numericamente. Em terceiro lugar, apresenta-se uma unificação dos estados localizados de redes quadradas decoradas. Esta unificação é apresentada na forma de "regras de origami", que incluem dobrar e desdobrar estados localizados de Hamiltonianos sem interacções (tight-binding ). Mostra-se que os estados localizados das redes decoradas de Lieb, Mielke e Tasaki podem ser obtidos uns a partir dos outros aplicando estas regras. Seguidamente, dá-se ênfase às redes decoradas da classe de Lieb. Começa-se por estudar a evolução temporal dos seus estados localizados quando um campo magnético é aplicado lentamente e perpendicularmente ao plano da rede. Conclui-se que, em concordância com o teorema adiabático, o estado localizado mantém-se localizado desde que haja uma diferença energética finita entre a sua energia e o resto do espectro do Hamiltoniano. Além disto, mostra-se que a forma como o estado localizado evolui pode ser descrita por um Hamiltoniano mais simples, com apenas três níveis energéticos, cuja solução é análoga a um movimento de precessão clássico. Finalmente, introduz-se a interacção de Hubbard na rede de Lieb e, usando a aproximação de campo médio, obtém-se o diagrama de fases magnéticas desta rede, previamente inexistente na literatura. Conclui-se que, no caso de redes bipartidas com diferente número de átomos em cada sub-rede, a abordagem de campo médio tradicional não reproduz resultados correctos na situação de um electrão por sítio (half filling ). Posto isto, segue-se uma abordagem em campo médio mais complexa (Hartree-Fock generalizada), que permite que as sub-redes tenham diferentes magnetizações e densidades de carga. Com estas modificações, a nova abordagem de campo médio já reproduz correctamente os resultados exactos em half filling, dados pelo teorema de Lieb e pelo teorema da densidade uniforme.