O problema de Riemann Hilbert para polinómios ortogonais - Sousa, Vítor Luís Pereira de
Nesta dissertação estudamos a aplicação do Problema de Riemann-Hilbert na teoria de Polinómios Ortogonais. Com esse efeito, abordamos vários tópicos essenciais para clarificar esta técnica. O texto está dividido em quatro capítulos, Preliminares de Análise Complexa, Problemas de Valores de Fronteira, Teoria Geral dos Polinómios Ortogonais, e O Problema de Riemann-Hilbert nos Polinómios Ortogonais. Apresentamos uma série de resultados fundamentais de Análise Complexa, entre os quais, uma extensão do teorema de Riemann em singularidades removíveis, a fórmula de Cauchy em domínios ilimitados, o principio do prolongamento analítico, e exemplos de Superfícies de Riemann. Formulamos o Problema de Riemann-Hilbert, e estudamos a sua solução típica, a Transformada de Cauchy, sobre vários tipos de curvas e famílias de funções. A este propósito definimos o integral singular no sentido de Cauchy, e o seu valor principal, e deduzimos as designadas fórmulas de Sokhotski- Plemelj . Sobre a teoria de Polinómios Ortogonais, apresentamos alguns resultados básicos de polinómios ortogonais sobre a recta real e sobre a circunferência unitária. Estudamos, também, a teoria apresentada por Szegö e mostramos resultados sobre o comportamento assimptótico dos polinómios ortogonais que esta teoria permite obter. Finalmente, estudamos o designado por método de Riemann-Hilbert, que usamos para determinar o comportamento assimptótico (forte) dos polinómios ortogonais. Este método consiste em caracterizar os polinómios ortogonais em termos de um problema de Riemann-Hilbert (i.e., em termos de uma matriz de funções analíticas com um salto sobre uma curva γ ) e, depois, em transformar sucessivamente o problema de Riemann-Hilbert inicial noutros problemas de Riemann-Hilbert sobre um conjunto de curvas deformadas com saltos mais simples. Fazemos a aplicação deste método aos polinómios ortogonais correspondentes à função peso w(x) ( x ) h(x) 1 2 1/ 2 − = − (onde x∈[−1,1] e h é uma função real, analítica e estritamente positiva sobre [−1,1]), e obtemos resultados assimptóticos para os polinómios ortogonais mónicos e para os coeficientes principais dos polinómios ortonormais.