Um problema de grandes denominadores - Azevedo, Assis (2012)
Fixado $M\in \N$, escolhamos aleatoriamente $a_1\in \N$ e consideremos $M_1=\frac{M}{(M,a_1)}$. Repita-se este procedimento, seleccionando ao acaso $a_2$ e definindo $M_2=\frac{M_1}{(M_1,a_2)}$, e assim sucessivamente. Dados $M, n\in\N$, qual é a probabilidade, digamos $\mathcal{P}(n,M)$, de ser $M_n=1$? Tem-se $\mathcal{P}(1,M)=\frac{1}{M}$ e a relação de recorrência $\mathcal{P}(n+1,M)=\sum_{d|M}\frac{\varphi(d)}{M} \mathcal{P}(n,d)$, onde $\varphi$ é a função de Euler. O que implica que, com probabilidade um, $M_n=1$ para algum $n\in \N$. O sistema dinâmico discreto associado à aplicação $\cchi:\Q\to \Q$ dada por $\cchi(x)= x\ceil{x}$ simula o comportamento deste processo aleatório, tratando-se agora de saber se a órbita por $\cchi$ de qualquer racional de $[1, +\infty[$ entra em $\Z$. Em \cite{A}, provou-se que o conjunto das fracções irredutíveis com denominador $M$ cujas órbitas entram em $\Z$ no $n$-ésimo iterado é uma união disjunta de classes de congruência módulo $M^{n+1}$. Este resultado sugeriu um algoritmo eficiente para decidir se um racional está nesta união e, do número daquelas classes, deduzimos que, com probabilidade $1$, a órbita de um racional de $[1, +\infty[$ entra em $\Z$.