Uma Abordagem Algébrica à Teoria de Controlo Não Linear - Rocha, Eugénio Alexandre Miguel
Nesta tese de Doutoramento desenvolve-se principalmente uma abordagem algébrica à teoria de sistemas de controlo não lineares. No entanto, outros tópicos são também estudados. Os tópicos tratados são os seguidamente enunciados: fórmulas para sistemas de controlo sobre álgebras de Lie livres, estabilidade de um sistema de corpos rolantes, algoritmos para aritmética digital, e equações integrais de Fredholm não lineares. No primeiro e principal tópico estudam-se representações para as soluções de sistemas de controlo lineares no controlo. As suas trajetórias são representadas pelas chamadas séries de Chen. Estuda-se a representação formal destas séries através da introdução de várias álgebras não associativas e técnicas específicas de álgebras de Lie livres. Sistemas de coordenadas para estes sistemas são estudados, nomeadamente, coordenadas de primeiro tipo e de segundo tipo. Apresenta-se uma demonstração alternativa para as coordenadas de segundo tipo e obtêm-se expressões explícitas para as coordenadas de primeiro tipo. Estas últimas estão intimamente ligadas ao logaritmo da série de Chen que, por sua vez, tem fortes relações com uma fórmula designada na literatura por “continuous Baker-Campbell- Hausdorff formula”. São ainda apresentadas aplicações à teoria de funções simétricas não comutativas. É, por fim, caracterizado o mapa de monodromia de um campo de vectores não linear e periódico no tempo em relação a uma truncatura do logaritmo de Chen. No segundo tópico é estudada a estabilizabilidade de um sistema de quaisquer dois corpos que rolem um sobre o outro sem deslizar ou torcer. Constroem-se controlos fechados e dependentes do tempo que tornam a origem do sistema de dois corpos num sistema localmente assimptoticamente estável. Vários exemplos e algumas implementações em Maple°c são discutidos. No terceiro tópico, em apêndice, constroem-se algoritmos para calcular o valor de várias funções fundamentais na aritmética digital, sendo possível a sua implementação em microprocessadores. São também obtidos os seus domínios de convergência. No último tópico, também em apêndice, demonstra-se a existência e unicidade de solução para uma classe de equações integrais não lineares com atraso. O atraso tem um carácter funcional, mostrando-se ainda a diferenciabilidade no sentido de Fréchet da solução em relação à função de atraso.