Soluções generalizadas para problemas L-Q singulares - Guerra, Manuel Cidraes Castro (2021)
Este trabalho trata os problemas lineares-quadráticos de controlo óptimo (problemas L-Q) ditos "singulares". É sabido que existem problemas deste tipo cujo custo tem ínfimo finito sobre o conjunto das soluções admissíveis mas não tem mínimo nesse conjunto, pelo que o problema não tem solução óptima. Nestes casos é desejável obter uma caracterização das sucessões minimizantes (i.e., as sucessões de soluções admissíveis tais que a sucessão dos custos correspondentes converge para o ínfimo do problema). A nossa solução para este problema consiste em definir um espaço de "controlos generalizados", mais amplo do que L2[0, T], ao qual, tanto o funcional custo como a aplicação input-trajectória podem ser extendidos por continuidade. Assim, obtém-se um "problema extendido" que tem mínimo sempre que o ínfimo do problema original for finito e as sucessões minimizantes são exactamente aquelas que convergem numa certa topologia para alguma "solução óptima generalizada". O espaço dos controlos generalizados é um subespaço do espaço de Sobolev H-r, e as trajectórias generalizadas correspondentes são funções generalizadas de classe H-(r-1), em que r é a ordem de singularidade do problema, definida no trabalho. Então, as trajectórias óptimas generalizadas podem não só ser descontínuas, como já foi assinalado por outros autores, mas podem também conter termos distribucionais, o que implica a existência de problemas cujas sucessões minimizantes são necessariamente ilimitadas, num sentido que definimos. O nosso trabalho combina duas abordagens distintas: A primeira é baseada numa transformação que permite representar as trajectórias e o custo em função de integrais indefinidos do controlo. Esta abordagem permite obter a extensão do problema à classe dos "controlos generalizados", provando que uma tal extensão existe sempre que a segunda variação do problema original for semidefinida positiva nalgum subespaço de codimensão finita em L2 [0, T]. A segunda abordagem é baseada na chamada teoria das restrições de Dirac-Bergmann que, na sua versão original, é um método para o cálculo de soluções extremais de problemas singulares de cálculo de variações, que aqui se adapta ao cálculo de soluções óptimas de um problema L-Q. Esta abordagem permite obter uma caracterização geométrica das soluções óptimas generalizadas. Mostra-se que as duas abordagens estão estreitamente ligadas, sendo em larga medida redutíveis uma à outra. Caracterizam-se os problemas L-Q que têm ínfimo finito, prova-se que esses problemas têm solução óptima generalizada e são dadas condições necessárias e suficientes para a unicidade da solução óptima generalizada. Mostra-se como qualquer solução óptima generalizada pode ser calculada, quer em open loop, através do princípio de máximo de Pontryagin, quer sob a forma de feedback, através da solução de uma equação diferencial de Riccati apropriada. Mostra-se também como é que se pode construir uma sucessão minimizante, constituída por soluções admissíveis com grau de diferenciabilidade arbitrário, que aproxime uma dada solução óptima generalizada. Descreve-se a estrutura das soluções óptimas generalizadas. Mostra-se que existe uma extensão "natural" da teoria das restrições de Dirac-Bergmann, que permite definir um ''fluxo Hamiltoniano generalizado" cujas trajectórias são funções generalizadas de classe H-(r-1). Prova-se que a projecção no espaço de estados destas trajectórias Hamiltonianas generalizadas coincide exactamente com as trajectórias óptimas generalizadas (incluindo descontinuidades e componentes distribucionais). Propõe-se uma nova classificação das restrições de Dirac, que é usada para obter uma caracterização geométrica das soluções óptimas generalizadas. Discutem-se as implicações do fenómeno denominado "liberdade de gauge" e do conceito associado de "equivalência física" entre trajectórias, introduzido por Dirac. Prova-se que uma certa conjectura formulada por Dirac, relativa às restrições de "primeira classe", é verdadeira.