Propriedades de regularidade de operadores de Wiener-Hopf-Hankel - Nolasco, Ana Paula Branco (2011)
Nesta tese estudamos as propriedades de regularidade de operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos de Fourier pertencentes às álgebras das funções quase periódicas, das funções semi-quase periódicas e das funções quase periódicas por troços e consideramos estes operadores a actuar entre espaços de Lebesgue Lp (para 1<p<∞). Por propriedades de regularidade entende-se invertibilidade lateral e bilateral, propriedade de Fredholm e solubilidade normal. Propomos uma teoria de factorização para operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos de Fourier quase periódicos, e a actuar entre espaços de Lebesgue L2, introduzindo uma factorização para os símbolos de Fourier quase periódicos de tal modo que as propriedades dos factores irão permitir correspondentes factorizações dos operadores. Um critério para a propriedade de semi-Fredholm e para a invertibilidade lateral e bilateral é assim obtido em termos de determinados índices das factorizações. Baseado na relação delta após extensão, estabelecemos um teorema do tipo de Sarason para operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos de Fourier semi-quase periódicos, a actuar entre espaços de Lebesgue L2. Uma generalização do teorema do tipo de Sarason é também obtida considerando agora os operadores a actuar entre espaços de Lebesgue Lp. Para operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos de Fourier quase periódicos por troços, a actuar entre espaços de Lebesgue L2, um critério para a propriedade de Fredholm e para a invertibilidade lateral é também obtido através do uso da relação delta após extensão. Todos estes resultados significam uma caracterização da propriedade de Fredholm e da invertibilidade lateral e bilateral destes operadores em termos dos valores médios e das médias geométricas dos representantes quase periódicos no infinito dos símbolos de Fourier, assim como das descontinuidades de determinadas funções auxiliares (no caso das funções quase periódicas por troços). Para cada caso, é apresentada uma fórmula para o índice de Fredholm. Finalmente, de volta aos operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos de Fourier na subálgebra das funções quase periódicas APW, a actuar entre espaços de Lebesgue L2, consideramos o caso mais geral de operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos matriciais de Fourier APW. Para estes operadores, obtemos um critério para a invertibilidade e a propriedade de semi-Fredholm baseado na hipótese de um específico conjunto de Hausdorff ser limitado fora de zero.