Fractal geometry, oscillation and smoothness of continuous funtions - Carvalho, José Abel Lima (2011)
Primeiramente, relacionamos as dimensões superior e inferior de caixa com os espaços de oscilação e desenvolvemos imersões entre os espaços de oscilação e os espaços de Besov. Então, obtemos valores maximais e minimais para as dimensões de caixa e de Hausdorff, sobre todas as funções contínuas e compactamente suportadas em R n, com integrabilidade 0 < p ≤ ∞ e suavidade exacta s > 0. Calculamos também as dimensões de caixa e de Hausdorff para certas funções chirp e do tipo Weierstrass e assim, usando o operador levantamento para testar o comportamento das dimensões em função da suavidade, mostramos que há uma certa incerteza na relação entre suavidade e dimensões de gráficos. Seguidamente, investigamos alguns critérios para decidir quando é que um gráfico de uma função não é um conjunto-d. Além disso, para cada d entre n e n +1, construímos uma função sobre [0,1] n cujo gráfico é um conjunto-d. E na classe das funções reais definidas sobre um conjunto-h1 contido na recta real, provamos a existência de funções cujos gráficos são conjuntos-h, sob condições apropriadas para a função de massa h. Em particular, obtemos os valores maximais para as dimensões de caixa e de Hausdorff para todos os gráficos de funções de Hölder sobre um conjunto-d1 contido na recta real, assim como o valor maximal para a dimensão de Hausdorff para todas as funções de Bs p,q que sejam traços de funções contínuas num tal conjunto-d1, para qualquer 1< p < ∞ e 0< s < d1. Finalmente, redireccionamos o nosso interesse para as aplicações práticas baseadas nas imersões entre os espaços de oscilação e os de Besov, e consideramos o problema geral da detecção de sinal, apresentando uma simulação numérica para sinais do tipo onda e para sinais chirp.