Decomposição de espectros de grafos e aplicações - Fritscher, Eliseu (2015)
Neste trabalho, apresentamos um algoritmo que decompõe o espectro de uma matriz associada a um grafo em uma união de espectros de matrizes de ordem menor, se o grafo possui certas simetrias. Este método unifica técnicas usadas por vários autores. Para a execução do algoritmo, são introduzidos os grafos com pesos generalizados (GWG), estruturas que representam matrizes simétricas com componentes reais arbitrárias. Como aplicação direta do algoritmo, obtemos o espectro das matrizes de adjacências, laplaciana, laplaciana sem sinal e laplaciana normalizada de grafos threshold, árvores de Bethe generalizadas e grafos multi-leque. Uma segunda aplicação do algoritmo consiste na análise de uma operação que adiciona arestas em partes simétricas de um grafo de modo que o espectro laplaciano do grafo se mantém controlado. Como consequência, é possível montar uma família, da ordem de n/2 elementos, formada por grafos unicíclicos com n vértices que não são coespectrais, mas que possuem a mesma energia laplaciana. O terceiro problema abordado consiste no ordenamento de árvores de acordo com sua energia laplaciana. Utilizando uma nova cota superior para a soma dos maiores autovalores laplacianos, encontramos o conjunto de f(n) árvores com n vértices com maior energia laplaciana, onde f(n) é aproximadamente p n.